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            背包理论基础01背包1 | Nefelibata
             | Nefelibata
        
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            </h5>
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            <h4>TOC</h4>
            
                <ol class="post-toc"><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#01-%E8%83%8C%E5%8C%85"><span class="post-toc-text">01 背包</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#%E4%BA%8C%E7%BB%B4dp%E6%95%B0%E7%BB%8401%E8%83%8C%E5%8C%85"><span class="post-toc-text">二维dp数组01背包</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#%E5%AE%8C%E6%95%B4c-%E6%B5%8B%E8%AF%95%E4%BB%A3%E7%A0%81"><span class="post-toc-text">完整c++测试代码</span></a></li><li class="post-toc-item post-toc-level-2"><a class="post-toc-link" href="#%E6%80%BB%E7%BB%93"><span class="post-toc-text">总结</span></a></li></ol>
            
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        <h1 class="post-card-title">背包理论基础01背包1</h1>
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            发表于
            <time class="post-time" title="2022-08-10 13:21:02" datetime="2022-08-10T05:21:02.000Z"  itemprop="datePublished">2022-08-10</time>

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	分类：<ul class="article-category-list"><li class="article-category-list-item"><a class="article-category-list-link" href="/blog/categories/%E7%AC%94%E8%AE%B0/">笔记</a></li></ul>


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        <div class="post-content" id="post-content" itemprop="postContent">
            <p>背包理论基础01</p>
<span id="more"></span>

<blockquote>
<p>转载自<a target="_blank" rel="noopener" href="https://programmercarl.com/">代码随想录</a>，侵删</p>
</blockquote>
<p>建议按照如下顺序观看：<br><a target="_blank" rel="noopener" href="https://kpl0111.github.io/blog/2022/08c8776b35.html">背包理论基础01背包1（本文）</a><br><a target="_blank" rel="noopener" href="https://kpl0111.github.io/blog/2022/08517e3a8f.html">背包理论基础01背包2</a><br><a target="_blank" rel="noopener" href="https://kpl0111.github.io/blog/2022/08806f2082.html">背包基础理论完全背包</a><br><a target="_blank" rel="noopener" href="https://kpl0111.github.io/blog/2022/0871e46bfb.html">背包基础理论多重背包</a></p>
<p>这周我们正式开始讲解背包问题！</p>
<p>如果这几种背包，分不清，我这里画了一个图，如下：</p>
<figure class="image-bubble">
                <div class="img-lightbox">
                    <div class="overlay"></div>
                    <img src="https://img-blog.csdnimg.cn/20210117171307407.png" alt="416.分割等和子集1" title="">
                </div>
                <div class="image-caption">416.分割等和子集1</div>
            </figure>

<p>至于背包九讲其其他背包，面试几乎不会问，都是竞赛级别的了，leetcode上连多重背包的题目都没有，所以题库也告诉我们，01背包和完全背包就够用了。</p>
<p>而完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。</p>
<p><strong>所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！</strong></p>
<p>leetcode上没有纯01背包的问题，都是01背包应用方面的题目，也就是需要转化为01背包问题。</p>
<p><strong>所以我先通过纯01背包问题，把01背包原理讲清楚，后续再讲解leetcode题目的时候，重点就是讲解如何转化为01背包问题了</strong>。</p>
<p>之前可能有些录友已经可以熟练写出背包了，但只要把这个文章仔细看完，相信你会意外收获！</p>
<h2 id="01-背包"><a href="#01-背包" class="headerlink" title="01 背包"></a>01 背包</h2><p>有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。<strong>每件物品只能用一次</strong>，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。</p>
<figure class="image-bubble">
                <div class="img-lightbox">
                    <div class="overlay"></div>
                    <img src="https://img-blog.csdnimg.cn/20210117175428387.jpg" alt="动态规划-背包问题" title="">
                </div>
                <div class="image-caption">动态规划-背包问题</div>
            </figure>

<p>这是标准的背包问题，以至于很多同学看了这个自然就会想到背包，甚至都不知道暴力的解法应该怎么解了。</p>
<p>这样其实是没有从底向上去思考，而是习惯性想到了背包，那么暴力的解法应该是怎么样的呢？</p>
<p>每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是$o(2^n)$，这里的n表示物品数量。</p>
<p><strong>所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！</strong></p>
<p>在下面的讲解中，我举一个例子：</p>
<p>背包最大重量为4。</p>
<p>物品为：</p>
<table>
<thead>
<tr>
<th align="center"></th>
<th align="center">重量</th>
<th align="center">价值</th>
</tr>
</thead>
<tbody><tr>
<td align="center">物品0</td>
<td align="center">1</td>
<td align="center">15</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">物品1</td>
<td align="center">3</td>
<td align="center">20</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">物品2</td>
<td align="center">4</td>
<td align="center">30</td>
</tr>
</tbody></table>
<p>问背包能背的物品最大价值是多少？</p>
<p>以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。</p>
<h2 id="二维dp数组01背包"><a href="#二维dp数组01背包" class="headerlink" title="二维dp数组01背包"></a>二维dp数组01背包</h2><p>依然动规五部曲分析一波。</p>
<ol>
<li>确定dp数组以及下标的含义</li>
</ol>
<p>对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即<strong>dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少</strong>。</p>
<p>只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：</p>
<figure class="image-bubble">
                <div class="img-lightbox">
                    <div class="overlay"></div>
                    <img src="https://img-blog.csdnimg.cn/20210110103003361.png" alt="动态规划-背包问题1" title="">
                </div>
                <div class="image-caption">动态规划-背包问题1</div>
            </figure>

<p><strong>要时刻记着这个dp数组的含义，下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的</strong>，如果哪里看懵了，就来回顾一下i代表什么，j又代表什么。</p>
<ol start="2">
<li>确定递推公式</li>
</ol>
<p>再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。</p>
<p>那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，</p>
<ul>
<li><strong>不放物品i</strong>：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)</li>
<li><strong>放物品i</strong>：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值</li>
</ul>
<p>所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);</p>
<ol start="3">
<li>dp数组如何初始化</li>
</ol>
<p><strong>关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱</strong>。</p>
<p>首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：</p>
<figure class="image-bubble">
                <div class="img-lightbox">
                    <div class="overlay"></div>
                    <img src="https://img-blog.csdnimg.cn/2021011010304192.png" alt="动态规划-背包问题2" title="">
                </div>
                <div class="image-caption">动态规划-背包问题2</div>
            </figure>

<p>在看其他情况。</p>
<p>状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。</p>
<p>dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。 </p>
<p>那么很明显当 j &lt; weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。</p>
<p>当j &gt;= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。</p>
<p>代码初始化如下：</p>
<pre><code class="C++">for (int j = 0 ; j &lt; weight[0]; j++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j &lt;= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}
</code></pre>
<p>此时dp数组初始化情况如图所示：</p>
<figure class="image-bubble">
                <div class="img-lightbox">
                    <div class="overlay"></div>
                    <img src="https://img-blog.csdnimg.cn/20210110103109140.png" alt="动态规划-背包问题7" title="">
                </div>
                <div class="image-caption">动态规划-背包问题7</div>
            </figure>

<p>dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？</p>
<p>其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j]  是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。</p>
<p><strong>初始-1，初始-2，初始100，都可以！</strong></p>
<p>但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。</p>
<p>如图：</p>
<figure class="image-bubble">
                <div class="img-lightbox">
                    <div class="overlay"></div>
                    <img src="https://code-thinking.cdn.bcebos.com/pics/动态规划-背包问题10.jpg" alt="动态规划-背包问题10" title="">
                </div>
                <div class="image-caption">动态规划-背包问题10</div>
            </figure>

<p>最后初始化代码如下：</p>
<pre><code class="C++">// 初始化 dp
vector&lt;vector&lt;int&gt;&gt; dp(weight.size(), vector&lt;int&gt;(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j &lt;= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}
</code></pre>
<p><strong>费了这么大的功夫，才把如何初始化讲清楚，相信不少同学平时初始化dp数组是凭感觉来的，但有时候感觉是不靠谱的</strong>。</p>
<ol start="4">
<li>确定遍历顺序</li>
</ol>
<p>在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量</p>
<figure class="image-bubble">
                <div class="img-lightbox">
                    <div class="overlay"></div>
                    <img src="https://img-blog.csdnimg.cn/2021011010314055.png" alt="动态规划-背包问题3" title="">
                </div>
                <div class="image-caption">动态规划-背包问题3</div>
            </figure>

<p>那么问题来了，<strong>先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？</strong></p>
<p><strong>其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解</strong>。</p>
<p>那么我先给出先遍历物品，然后遍历背包重量的代码。</p>
<pre><code class="C++">// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i &lt; weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j &lt;= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j &lt; weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
</code></pre>
<p><strong>先遍历背包，再遍历物品，也是可以的！（注意我这里使用的二维dp数组）</strong></p>
<p>例如这样：</p>
<pre><code class="C++">// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j &lt;= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i &lt; weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j &lt; weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}
</code></pre>
<p>为什么也是可以的呢？</p>
<p><strong>要理解递归的本质和递推的方向</strong>。</p>
<p>dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。</p>
<p>dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向（包括正上方向），那么先遍历物品，再遍历背包的过程如图所示：</p>
<figure class="image-bubble">
                <div class="img-lightbox">
                    <div class="overlay"></div>
                    <img src="https://img-blog.csdnimg.cn/202101101032124.png" alt="动态规划-背包问题5" title="">
                </div>
                <div class="image-caption">动态规划-背包问题5</div>
            </figure>

<p>再来看看先遍历背包，再遍历物品呢，如图：</p>
<figure class="image-bubble">
                <div class="img-lightbox">
                    <div class="overlay"></div>
                    <img src="https://img-blog.csdnimg.cn/20210110103244701.png" alt="动态规划-背包问题6" title="">
                </div>
                <div class="image-caption">动态规划-背包问题6</div>
            </figure>

<p><strong>大家可以看出，虽然两个for循环遍历的次序不同，但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角，根本不影响dp[i][j]公式的推导！</strong></p>
<p>但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。</p>
<p><strong>其实背包问题里，两个for循环的先后循序是非常有讲究的，理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了</strong>。</p>
<ol start="5">
<li>举例推导dp数组</li>
</ol>
<p>来看一下对应的dp数组的数值，如图：</p>
<figure class="image-bubble">
                <div class="img-lightbox">
                    <div class="overlay"></div>
                    <img src="https://img-blog.csdnimg.cn/20210118163425129.jpg" alt="动态规划-背包问题4" title="">
                </div>
                <div class="image-caption">动态规划-背包问题4</div>
            </figure>

<p>最终结果就是dp[2][4]。</p>
<p>建议大家此时自己在纸上推导一遍，看看dp数组里每一个数值是不是这样的。</p>
<p><strong>做动态规划的题目，最好的过程就是自己在纸上举一个例子把对应的dp数组的数值推导一下，然后在动手写代码！</strong></p>
<p>很多同学做dp题目，遇到各种问题，然后凭感觉东改改西改改，怎么改都不对，或者稀里糊涂就改过了。</p>
<p>主要就是自己没有动手推导一下dp数组的演变过程，如果推导明白了，代码写出来就算有问题，只要把dp数组打印出来，对比一下和自己推导的有什么差异，很快就可以发现问题了。</p>
<h2 id="完整c-测试代码"><a href="#完整c-测试代码" class="headerlink" title="完整c++测试代码"></a>完整c++测试代码</h2><pre><code class="cpp">void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector&lt;int&gt; weight = {1, 3, 4};
    vector&lt;int&gt; value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    // 二维数组
    vector&lt;vector&lt;int&gt;&gt; dp(weight.size(), vector&lt;int&gt;(bagweight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j &lt;= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i &lt; weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j &lt;= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j &lt; weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout &lt;&lt; dp[weight.size() - 1][bagweight] &lt;&lt; endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}
</code></pre>
<h2 id="总结"><a href="#总结" class="headerlink" title="总结"></a>总结</h2><p>讲了这么多才刚刚把二维dp的01背包讲完，<strong>这里大家其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在如何初始化和遍历顺序上</strong>。</p>
<p>可能有的同学并没有注意到初始化 和 遍历顺序的重要性，我们后面做力扣上背包面试题目的时候，大家就会感受出来了。</p>
<p>下一篇 还是理论基础，我们再来讲一维dp数组实现的01背包（滚动数组），分析一下和二维有什么区别，在初始化和遍历顺序上又有什么差异，敬请期待！</p>
<p><a target="_blank" rel="noopener" href="https://kpl0111.github.io/blog/2022/08c8776b35.html">背包理论基础01背包1（本文）</a><br><a target="_blank" rel="noopener" href="https://kpl0111.github.io/blog/2022/08517e3a8f.html">背包理论基础01背包2</a><br><a target="_blank" rel="noopener" href="https://kpl0111.github.io/blog/2022/08806f2082.html">背包基础理论完全背包</a><br><a target="_blank" rel="noopener" href="https://kpl0111.github.io/blog/2022/0871e46bfb.html">背包基础理论多重背包</a></p>

        </div>

        <blockquote class="post-copyright">
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    最后更新：<time datetime="2024-01-04T02:41:48.351Z" itemprop="dateUpdated">2024-01-04 10:41:48</time>
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        all[i].SourceElement().parentNode.className += ' has-jax';
    }
});
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<!-- 不蒜子 -->
<!--  -->

</body>
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